Research activity concerns Mathematics Education and Foundations of Geometry.

About the research in Mathematics Education, the starting point is the link between some aspects of formal logic and mathematics education.

About Foundations, the research starts from the question of "foundation of geometry" aobut the possibility of building a geometric theory without the notion of point as primitive.

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(Italian version)

L'attività di ricerca, svolta a partire dal corso di dottorato, si sviluppa in due direzioni: una che riguarda che riguarda la didattica della matematica a partire da collegamenti con la logica matematica, l'altra che riguarda i fondamenti della matematica in collegamento con la geometria senza punti.

Per quanto riguarda i fondamenti della matematica, il percorso di ricerca ha preso spunto da un interessante problema di “fondamenti della geometria”: come si possa realizzare una teoria geometrica senza assumere la nozione di “punto” come primitiva, questione esaminata per la prima volta estensivamente dal filosofo e matematico inglese A. N. Whitehead. Si è partito da un approccio metrico alla “geometria senza punti”, definendo distanze verificanti assiomi più generali di quelli delle metriche in spazi di regioni, anziché di punti. Strettamente legate all’approccio metrico, si sono sviluppate anche nozioni derivanti dalle logiche a più valori, con particolare attenzione agli ordinamenti fuzzy ed alle similarity. Si è stabilito un legame tra spazi metrici “senza punti” e categorie di fuzzy-set, coinvolgendo la nozione di similarity debole, esaminando, più precisamente, il collegamento tra una categoria di natura metrica ed una categoria legata alla nozione di similarità e di insieme fuzzy.
Più in particolare, si è definita la nozione di “distanza approssimata” tra regioni, che estende la nozione usuale di distanza, in casi in cui sia ha a che fare con informazione non completa. Le regioni sono utilizzate per rappresentare l’incompletezza dell’informazione e la distanza approssimata tra esse rappresenta quanto due “pezzi di informazione” sono vicini. Tale ricerca è adeguata per alcune applicazioni in ambito informatico: ad esempio, si possono utilizzare distanze tra regioni per trattare processi di classificazione che hanno a che fare con informazione incompleta.  Tra le distanze verificanti assiomi più deboli di quelli delle metriche, l’attenzione è stata focalizzata anche su distanze non simmetriche, le quasi-metriche, e principalmente sulla nozione duale, quella di fuzzy inclusione. Il modello canonico che ispira tale approccio è sempre legato alla geometria senza punti, in quanto un tipico esempio di quasi-metrica è fornito dalla nozione di eccesso di una regione rispetto ad un’altra. Le nozioni che si elaborano permettono di sviluppare una teoria dei punti fissi che unifica ed estende sia la teoria dei punti fissi in insiemi ordinati che quella in ambito metrico.
Un’altra applicazione che è stata considerata si riferisce all’utilizzo della nozione di similarity nella descrizione di processi inferenziali di sistemi esperti capaci di elaborare informazione di natura probabilistica. Un tale approccio è vicino a quello dei sistemi case-based reasoning, in quanto si propone una predizione sul verificarsi di una proprietà da parte di un nuovo caso osservando casi precedenti.
Tra i risultati più recenti, si sono esaminati e riformulati i due approcci di Whitehead, quello “inclusion-based” (in cui primitive sono  le nozioni di regione e di inclusione tra regioni) e quello (successivo) “connection-based” (in cui la relazione di connessione è considerata al posto dell’inclusione). Si è mostrato che il secondo non può essere ridotto al primo, infatti mentre è possibile definire l’inclusione dalla relazione di connessione, il viceversa non è possibile. Si è mostrato, invece, che l’approccio “inclusion-based” funziona bene nel campo delle logiche a più valori, in cui questo passaggio inverso può essere fatto, considerando una inclusione “graduata”.

Per quanto riguarda la ricerca in Didattica della matematica, il punto di partenza della ricerca è stato il collegamento tra alcuni aspetti della logica e l’educazione matematica. La logica è intesa come espressione di un cammino storico che ha portato ad un cambiamento nel ruolo del linguaggio in matematica. Questo cammino inizia con il passaggio dall’algebra retorica all’algebra simbolica ed arriva fino alla moderna logica matematica. Quindi, la logica è presa in considerazione nella sua accezione più ampia, come analisi del rapporto tra linguaggio ed interpretazione e come individuazione di regole di manipolazione linguistica. Il focus della ricerca in questo ambito è sulla relazione tra linguaggio e processi di sviluppo di abilità logiche, attraverso la progettazione e l’osservazione dello svolgimento di attività linguistico-manipolative con bambini di scuole primarie. Queste ricerche si svolgono in collaborazione con ricercatori in psicologia dell’educazione. La ricerca riguarda sia aspetti teorici che aspetti sperimentali. Le sperimentazioni riguardano sia linguaggi di tipo procedurale sia  linguaggi di tipo assertivo. Le sperimentazioni del primo tipo riguardano la creazione di semplici linguaggi procedurali in corrispondenza a date situazioni o problemi, l’utilizzo e la manipolazione del linguaggio al fine di trovare strategie di risoluzione di un problema, riflessioni sulla possibilità di avere diverse interpretazioni di un linguaggio e sul concetto stesso d’interpretazione. Le sperimentazioni del secondo tipo riguardano una riflessione sul passaggio del ruolo del linguaggio da quello tradizionale di strumento di comunicazione ad oggetto di manipolazione ed una riflessione sulla deduzione che diviene, nel concreto, manipolazione di oggetti linguistici. I dati raccolti sono sottoposti ad analisi di tipo “quanti-qualitativo” e l’analisi, su due macro-livelli, riguarda da un lato gli scambi sociali tra i soggetti coinvolti, dall’altro la rappresentazione cognitiva individuale che viene sviluppata.
Mantenendo il focus su rapporto tra linguaggio e processi cognitivi, la ricerca si sta occupando dell’analisi di alcune competenze trasversali riguardanti il linguaggio. Secondo molte ricerche in educazione matematica,  una gran parte dei fallimenti degli studenti in matematica può essere attribuita a problemi linguistici. In particolare l’idea è di analizzare le difficoltà nella “conversione” tra diversi “sistemi semiotici”. L’attività matematica, infatti, è caratterizzata da una dominante importanza delle rappresentazioni semiotiche e dalla loro grande varietà e, secondo numerose ricerche, la comprensione in matematica presuppone il coordinamento di almeno due registri di rappresentazione semiotica. Queste tematiche sono di grande interesse per i docenti e per gli studenti delle scuole secondarie, anche perché legate alle valutazioni nazionali ed internazionali (come i test INVALSI ed OCSE-PISA) che vengono effettuate nelle scuole e che spesso hanno un esito negativo. Sono state fatte a questo proposito delle sperimentazioni in scuole secondarie, in collaborazione con alcuni docenti.
In relazione allo sviluppo di competenze riguardanti abilità logiche, è stato sviluppato da un punto di vista teorico e si sta sperimentando un modello cognitivo che permetta di descrivere ed analizzare il ragionamento degli studenti nello svolgimento di compiti logici. Più precisamente, si è interessati ad inquadrare le varie forme di ragionamento che gli studenti mettono in atto quando coinvolti in una attività matematica che coinvolge compiti logici. Il modello prevede le dimensioni di “formulation” (che riguarda la consapevolezza degli studenti sulle regole formali della logica) e “formality” (che riguarda utilizzo appropriato delle regole logiche). Queste due dimensioni danno luogo anche ad una dimensione di tipo più psicologico che ha a che fare con la fiducia degli studenti riguardo alla correttezza del loro ragionamento. La fiducia in se stessi, la consapevolezza e la formalità non sono tre variabili scollegate tra loro, ma correlate: si osservano, infatti, degli andamenti che le mettono in collegamento.
Ultimamente la ricerca in didattica della matematica sta procedendo anche nel campo riguardante i fattori affettivi, in particolare riguardo al costrutto di atteggiamento nei confronti della matematica e del suo insegnamento. Questa ricerca si pone nell’ampio filone di ricerca riguardante il ruolo dei fattori affettivi nelle difficoltà in matematica. Grazie alla collaborazione con ricercatori di altri Atenei si sta portando avanti  un progetto per raccogliere informazioni ed analizzare l'atteggiamento nei confronti della matematica e del suo insegnamento dei futuri insegnanti di scuola primaria. Si stanno utilizzando come strumenti di osservazione questionari ed interviste svolti nell’ambito dei corsi di laurea in Scienze della formazione primaria.